Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Длины сто­рон ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та и 15. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да об­ра­зу­ет с боль­шей по пло­ща­ди бо­ко­вой гра­нью угол арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те альфа конец дроби , где α  — угол между диа­го­на­лью мень­шей по пло­ща­ди бо­ко­вой грани и плос­ко­стью диа­го­наль­но­го се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть дан па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA1B1C1D1, при­чем AB = 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , AD = 15, AA_1 = x. Угол между диа­го­на­лью AC1 па­рал­ле­ле­пи­пе­да и гра­нью CC1B1B равен углу между диа­го­на­лью AC1 и ее про­ек­ци­ей BC1 на плос­кость этой грани. Из усло­вия на­хо­дим:

синус \angle AC_1B = синус левая круг­лая скоб­ка арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Пря­мая BC1 пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, а по­то­му дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби = синус \angle AC_1B, от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 15 в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 левая круг­лая скоб­ка 175 плюс 225 плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 1200 плюс 3x в квад­ра­те = 1575 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те = 375 рав­но­силь­но x в квад­ра­те = 125 рав­но­силь­но x = 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Угол α равен углу между пря­мой AB1 и плос­ко­стью BB1D1D, то есть углу между пря­мой AB1 и ее про­ек­ци­ей на эту плос­кость. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр AK к пря­мой BD, тогда пря­мая B1K пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой AK по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Сле­до­ва­тель­но, угол KB1A  — ис­ко­мый. Вос­поль­зу­ем­ся тем, что длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы, а также тео­ре­мой Пи­фа­го­ра и по­лу­чим:

синус альфа = синус \angle KB_1A = дробь: чис­ли­тель: AK, зна­ме­на­тель: AB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AD умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: BD умно­жить на AB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 225 плюс 175 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 175 плюс 125 конец ар­гу­мен­та конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 75 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 300 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 75 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 200 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Таким об­ра­зом,

дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те альфа конец дроби = 21 : дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 21 умно­жить на 64, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби = 64.

Ответ: 64.


Аналоги к заданию № 2783: 2813 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ный эк­за­мен. Ма­те­ма­ти­ка: пол­ный сбор­ник те­стов, 2025 год. Ва­ри­ант 2
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026